Le Code... Affascinante Teoria

In queste righe, vorrei parlare di un argomento che, sebbene piuttosto specifico, riguarda un problema con il quale abbiamo a che fare praticamente ogni giorno: il problema delle code… Sì insomma il problema delle file, delle colonne: in auto, mentre facciamo la spesa o mentre aspettiamo di pagare qualcosa… beh a pensarci bene quando bisogna pagare qualcosa le file sembrano guardacaso più rapide, ma forse solo perché chi si trova al di là del banco, quando deve incassare denaro, diviene straordinariamente più motivato e quindi più efficiente.

Scherzi a parte, confesso di ritenere questo argomento oltremodo interessante, da un lato perché trova un riscontro pratico alquanto evidente (credo che nessuno di noi possa dire di non aver mai sperimentato “l’ebrezza” dello stare in attesa, fermo in coda) e dall’altro perché le teorie che cercano di affrontare e spiegare la questione sono culturalmente molto stimolanti, e come sapete stimolare l’intelletto è, a mio modesto parere, l’essenza della conoscenza stessa.

Credo che il problema delle code possa essere efficacemente riassunto dalla seguente esternazione: “Mi basta uscire di casa 5 minuti dopo, per arrivare al lavoro con mezz’ora di ritardo rispetto al solito”. In effetti sembra paradossale che a parità di chilometri da percorrere e di abitudini di guida, pochi minuti possano determinare tempistiche tra loro molto diverse per coprire lo stesso tragitto, ma è proprio questo l’aspetto più affascinante e, bisogna ammetterlo, frustrante, del problema delle code.
Partiamo da un esempio semplice. Consideriamo un semaforo in cui il verde e il rosso hanno la medesima durata, per semplicità diciamo 30 secondi e supponiamo inoltre che durante il verde riescano a passare 10 auto: ciò significa che ogni minuto passano appunto 10 automobili, o come direbbe un teorico della scienza delle code, il semaforo ha un tasso di servizio di 10 auto al minuto. Si capisce allora che, allorquando il numero di auto che giunge al semaforo è inferiore a 10 al minuto, non si creano code perché il tempo di attesa di un automobilista è al più di 30 secondi (ponendosi nel caso sfortunato di chi arriva all’incrocio proprio nell’istante in cui è appena scattato il rosso) e al primo scattare del verde ogni utente riesce a passare. Le cose si complicano quando il numero di utenti, detto anche tasso di arrivo, supera il tasso di servizio, 10 nel nostro esempio. Supponiamo infatti che ad un certo istante arrivino 11 automobili, allo scattare del verde riusciranno a passare solo le prime 10 auto, mentre una rimarrà bloccata; al minuto successivo, supponendo che il flusso di auto sia costante, arriveranno altre 11 auto e quindi 2 automobilisti non riusciranno a passare. Al terzo minuto gli automobilisti bloccati saranno 3 e così via a salire fino a quando dopo solo 20 minuti la coda sarà costiutita da ben 20 auto, con il rischio tra l’altro che la coda possa raggiungere un eventuale semaforo precedente a quello considerato, cosa che di fatto potrebbe generare la paradossale quanto comune situazione di avere il verde e di non poter comunque procedere a causa del numero di auto bloccate tra sé e il semaforo che segue. Tenete inoltre presente che la previsione di una colonna di 20 auto dopo soli 20 minuti è decisamenete ottimistica visto che si è fatta l’ipotesi di avere un flusso costante di 11 auto ogni minuto il che in generale non è vero visto che il flusso tende ad aumentare dopo una certa ora al mattino per poi decrescere di nuovo, ma solo verso metà mattinata. Di fatto quindi, i fatidici 5 minuti che fanno ritardare di mezz’ora sono quelli che ci separano dal momento in cui il numero di utenti è inferiore al tasso di servizio, e quello in cui tale numero è superiore ad esso.
A questo punto un lettore attento avanzerebbe la seguente obiezione: “Il semaforo costiutisce evidentemente un ostacolo, tuttavia anche in autostrada, pur non essendoci incidenti, capita di rimanere in coda, come mai?”. Qui in effetti la questione si complica, ma tutto trova comunque una giustificazione. Supponete di essere in autostrada e di procedere ad una velocità costante di 80 km/h, mantenedo da chi vi sopravanza una distanza di sicurezza di 60 metri: in assenza di ostacoli o di incidenti, non vi è ragione per cui si venga a formare una coda e in effetti così è, continuate di fatto a procedere ad 80 km/h. Supponete però, adesso che il numero di auto aumenti notevolmente e pur procedendo sempre ad 80 km/h, non siete più in grado di mantenere la distanza di sicurezza di 60 metri: ciò che accade è che se chi vi sta di fronte frena o anche solo rallenta per un qualsiasi motivo, vi costringe a fare lo stesso con la conseguenza che la vostra velocità diminuisce rispetto agli 80 km/h. Questo non accade invece nel primo caso citato perché, l’ampia distanza di sicurezza (i 60 metri nell’esempio) vi consente di continuare a procedere senza dover rallentare, mantenendo quindi la velocità costante di 80 km/h: al più ciò che accade è che si riduce leggermente la distanza di sicurezza, che tende tuttavia a ripristinarsi in breve tempo. Alla luce di questa valutazione quindi è inevitabile che sussista una correlzione tra la quantità di auto circolanti e la probabilità che si formino code: quando le strade diventano sature, cioè di fatto le auto superano il sopraccitato tasso di servizio, le distanze di sicurezza si riducono notevolmente e gli effetti del rallentamento o della frenata di un’auto si ripercuotono su coloro che la seguono. Infatti se un’auto rallenta, la ridotta distanza di sicurezza dell’auto che segue costringe quest’ultima a rallentare a sua volta e lo stesso accade per un certo numero di auto successive; quando la prima accelera di nuovo, occorre qualche istante affinchè la seconda si renda conto del cambiamento e acceleri a sua volta. In questo brevissimo lasso di tempo la distanza tra le due auto si allunga e così avviene anche per le successive automobili. Potete pensare alla coda come ad una gigantesca molla che procede “respirando”: si contrae nella fase di frenata dell’auto di testa e si dilata nella fase di accelerazione della stessa. Nell’esempio dell’autostrada si definisce “tasso di servizio” il numero di automobili che, nell’unità di tempo, raggiungono da ferme la velocità di crociera, mentre si definisce “tasso di arrivo” il numero di auto che, sempre nell’unità di tempo, sopraggiungono alle spalle dell’auto ferma. Se il tasso di arrivo è superiore a quello di servizio si crea la coda analogamente a quanto visto nel caso del semaforo.
Le code dunque, sono governate da impulsi di rallentamento e accelerazione che si propagano verso l’inizio o la fine della coda stessa. Questo concetto, all’apparenza così ostico può in realtà essere compreso ricorrendo ancora una volta ad un esempio. Dax, Davids e Carl1 si trovano su di una scala mobile stretta che sale con la velocità di 2 gradini al secondo; Dax, è il primo della fila, Davids è 5 posizioni dietro di lui (cioè tra Dax e Davids ci sono 4 persone) e infine Carl1 è 5 posizioni dietro di Davids (cioè tra Davids e Carl1 ci sono ancora 4 persone). Dax è in testa a tutti e avanza camminando lungo la scala per guadagnare un po’ di tempo, lo stesso fanno gli altri dietro di lui. Dax, a 10 gradini dalla sommità (quindi Davids è a 15 scalini dalla somità e Carl1 è a 20), si distrae per guardare una bella ragazza e si arresta per un istante prima di riprendere a camminare: questo suo arresto istantaneo obbliga colui che lo segue nell’immediato, ad arrestarsi a sua volta generando un impulso che arresta il flusso di persone in moto e che si propaga fino all’inizio della scala. Ipotizziamo che 1 secondo sia il tempo che una persona impieghi a rimettersi in marcia dopo che si è fermato. Dato che abbiamo assunto che la scala mobile procede 2 gradini al secondo, dopo 5 secondi Dax che era a 10 gradini della sommità è arrivato, e dato che Davids era 5 posizioni più indietro rispetto a Dax quando Davids riprende a camminare (dopo 5 secondi che è il tempo che l’impulso di ripresa impiega a raggiungerlo) si trova a 5 gradini dalla cima; Carl1 invece è a 10 gradini dalla cima, ma l’impulso di ripresa della marcia non lo ha ancora raggiunto per cui è ancora fermo. Dopo altri 5 secondi che è il tempo che l’impulso di rimessa in marcia impiega a raggiungere Carl1, Davids ha ormai raggiunto la sommità da 2,5 secondi (il tempo che la scala mobile impiega a percorrere i 5 gradini che mancavano) e Carl1 arriva appena ora alla sommità esattamente un istante prima di poter riprendere a camminare in quanto l’impulso di ripresa della marcia lo ha raggiunto proprio mentre è arrivato alla fine. Tutti quelli che seguono Carl1 procederanno sulla scala mobile stando fermi perché l’impulso di ripresa li raggiungerà solo dopo che ormai avranno già raggiunto la cima e ciò continuerà fino a quando non si verificherà un vuoto di persone sulla scala mobile.

Gli stessi concetti si possono applicare a decine di altre situazioni: al fast food, in posta, alle casse del supermercato… Tutto si riduce sempre alla differenza “Tasso di servizio – Tasso di arrivo” se il numero che si ottiene è maggiore o uguale a zero NON si crea la coda viceversa, beh dovrete rassegnarvi ad aspettare con pazienza.